Задача 1:

Вещественнозначная функция f определена на отрезке [0,1] и удовлетворяет равенству f(1/n) = ( – 1)ⁿ при всех натуральных n. Докажите, что f нельзя представить в виде разности возрастающих функций.

Решение:

Допустим, что f = g – h, где функции g и h – возрастающие. Заметим, что . Поскольку h – возрастающая, приращение функции g на отрезке не меньше 2. По возрастанию, , но тогда, g не может принимать конечного значения в 0.

Задача 2:

Трехмерный уголок – куб 2 × 2 × 2, из которого вырезали угловой кубик. Докажите, что куб 2ⁿ × 2ⁿ × 2ⁿ с вырезанным единичным кубиком можно разрезать на трехмерные уголки.

Решение:

Очевидно. Разрезаем кубик на 8 кусков. Из центра вырезаем трехмерный уголок и получаем 8 кубиков меньшего размера без единичного кубика в каждом.

Задача 3:

На сторонах AB и CD вписанного четырехугольника ABCD выбрали точки E и F соответственно, притом AE:EB = CF:FD. На отрезке EF взяли точку P такую, что EP:PF = AB:CD. Докажите, что отношение площадей треугольников APD и BPC не зависит от выбора точек E и F.

Задача 4:

Внутри треугольника ABC взяли точку P такую, что  ∠ PAB =  ∠ PCA и  ∠ PAC =  ∠ PBA. Докажите, что если точка P не совпадает с центром описанной окружности O, то угол APO – прямой.

Задача 5:

Найдите количество перестановок  σ  множества из 5 элементов, удовлетворяющих равенству

Решение:

Представим перестановку  σ  в виде произведения циклов. Заметим, что  σ ⁵⁰(x) ≠ x только тогда, когда в произведение входит цикл длины 3. Количество таких перестановок – . Тогда, искомое количество перестановок равно .

Задача 6:

Целые числа a₁,a₂, … ,a_n удовлетворяют равенствам a₁ + 2ⁱa₂ + 3ⁱa₃ +  …  + nⁱa_n = 0 для всех i = 1,2, … ,k – 1 (k ≥ 2). Докажите, что a₁ + 2^ka₂ + 3^ka₃ +  …  + n^ka_n делится на k!.