Задача 1:

На стороне BC треугольника ABC взяли точку D такую, что AD > BC. На стороне AC выбрали точку E, удовлетворяющую равенству Докажите, что AD > BE.

Задача 2:

Докажите, что из 101 различного натурального числа меньшего 5050 можно выбрать четыре – a,b,c,d такие, что a + b – c – d делится на 5050.

Решение:

Количество возможных пар – 5050, количество возможных в каждой паре разностей – 5048, следовательно найдутся две пары (a,b) и (c,d), разности которых совпадают (a – b = c – d). Но тогда, a + d – b – c = 0, что делится на 5050.

Задача 3:

Докажите, что существует 50 различных натуральных чисел n₁,n₂, … ,n₅₀ таких, что n₁ + S(n₁) = n₂ + S(n₂) =  …  = n₅₀ + S(n₅₀), где S(n) – сумма цифр числа n.

Задача 4:

При каких целых n система уравнений

имеет решения в целых числах.

Решение:

Заметим, что каждое уравнение имеет вид (x_i – 8)² + (x_i + 1 – 6)² = 50, которое имеет следующие решения в целых числах: x_i ∈ 7,9,x_i + 1 ∈  – 1,13; x_i ∈ 1,15,x_i + 1 ∈ 5,7; x_i ∈ 3,13,x_i + 1 ∈ 1,11. Таким образом пр инекотором i имеем следующую последовательность: x_i = 7,x_i + 1 = 13,x_i + 2 = 1,x_i + 3 = 7, … , откуда система имеет решение только при n делящихся на 3.

Задача 5:

a₁,a₂, … ,a_n,b₁, … ,b_n – целые числа. Докажите, что

Задача 6:

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF сумма углов A, C и E равна 360 и . Докажите, что .