Задача 1:

Найти наименьшее A, при котором для любых двух квадратов общей площади 1 найдется такой прямоугольник площади A, в котором можно разместить без наложения указанные квадраты. Можно считать, что стороны квадратов параллельны сторонам прямоугольника.

Решение: Пусть площади квадратов x и 1 – x. Можно считать, что x ≥ 1/2. Прямоугольник наименьшей площади, содержащий оба квадрата, имеет вид:

Его площадь Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции S(x) на промежутке [1/2,1].

. Решая соответствующее уравнение, находим критическую точку функции S(x): . Значение S(x₀) удобно вычислить так:

Замечая, что S(1/2) = S(1) = 1 < S(x₀), получаем Ответ.

Задача 2:

Радиусы двух окружностей соответственно 1 и 3, расстояние между центрами окружностей – 10. Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих точки данных окружностей.

Решение:

Введем на плоскости систему координат так, чтобы центры окружностей лежали на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Параметрические уравнения окружностей будут иметь вид: x₁ =  – 5 +  cos t₁, y₁ =  sin t₁ и x₂ = 5 + 3 cos t₂, y₂ =  sin t₂ соответственно. Для точки (x,y), являющейся серединой отрезка, соединяющего точки (x₁,y₁) и (x₂,y₂), имеем: (x,y) = ½( cos t₁ + 3 cos t₂, sin t₁ + 3 sin t₂). Если зафиксировать t₂, то с изменением t₁ от 0 до 2 π  точка (x,y) будет описывать окружность радиуса 1/2. При изменении t₂ от 0 до 2 π  центр указанной окружности (3/2 cos t₂,3/2 sin t₂) в свою очередь будет двигаться по окружности радиуса 3/2 с центром в начале координат; окружность радиуса 1/2 будет при этом «заметать» кольцо с внутренним радиусом 3/2 – 1/2 = 1 и внешним радиусом 3/2 + 1/2 = 2. Ответ. Геометрическое место точек представляет собой кольцо, центр которого есть середина отрезка, соединяющего центры окружностей, а внутренний и внешний радиусы равны соответственно 1 и 2.

Задача 3:

В школе работает 6 кружков. Каждый из 20 учеников класса может посещать любое количество кружков – от 0 до 6. Верно ли, что обязательно найдутся такие 5 учеников и такие 2 кружка, что все пятеро либо посещают оба кружка, либо не посещают ни один из этих двух кружков?

Решение: Ответ.Нет. Заметим, что . Пусть каждый ученик посещает ровно три кружка, причем у каждого набор кружков отличен от других. (В силу сделанного замечания это возможно.) Тогда и наборы непосещаемых кружков также будут разными у разных учеников. Если бы некоторые 5 человек посещали одновременно какие-нибудь два кружка, тогда из оставшихся четырех кружков по крайней мере один пришлось бы посещать одновременно двум (принцип Дирихле), что приводит к противоречию. Последняя фраза останется справедливой, если в ней перед словами «посещали», «посещать» поставить частицу «не».

Задача 4:

Пусть S – множество упорядоченных троек (a,b,c) различных элементов конечного множества A. Выполняются следующие условия:

1. ;
2. ;
3. .

Доказать, что существует такая функция , что из двойного неравенства g(a) < g(b) < g(c) следует: (a,b,c) ∈ S.

Решение:

Пусть в множестве A n элементов. Из 2) следует, что ровно половина всех упорядоченных троек (различных) элементов A входит в S. Зафиксируем некоторый элемент w ∈ A и на множестве введем отношение  ρ : Легко видеть, что оно антисимметрично: если x ρ y, то неверно, что y ρ x. Докажем, что данное отношение транзитивно. Пусть x ρ y и y ρ z. Тогда (w,x,y) ∈ S и (w,y,z) ∈ S. В силу 1) и (y,z,w) ∈ S. В силу 2) S принадлежат и тройки (x,y,z),(z,w,x). Опять применяя 1), получим, что (w,x,z) ∈ S, т.е. x ρ z, что и требовалось доказать. Обозначим через k_i количество элементов x из множества таких, что a_i ρ x. Если a_i ρ a_j, то из-за транзитивности и антисимметричности k_i > k_j. (Действительно, с одной стороны,  — этим обеспечивается нестрогое неравенство; с другой стороны неверно, что a_j ρ a_i). Нетрудно видеть, что верно и обратное: если k_i > k_j, то a_i ρ a_j (по закону контрапозиции). Положим g(a_i) = n – 1 – k_i, g(w) = n. Покажем, что функция g обладает требуемыми свойствами. Если g(a) < g(b), то a ρ b, или (w,a,b) ∈ S. Если c = w, то из того, что(c,a,b) ∈ S в силу 2) следует: (a,b,c) ∈ S. Если же c ≠ w, то из g(b) < g(c) получаем: (w,b,c) ∈ S, стало быть, (b,c,w) ∈ S. Поскольку при этом и (w,a,b) ∈ S, то в силу 3) (a,b,c) ∈ S.

Задача 5:

Пусть p – простое число, большее 3, k = [2p/3]. Доказать, что сумма биномиальных коэффициентов делится на p².

Решение: Отметим сначала, что каждое слагаемое делится на p (— целое число; числитель дроби кратен p, а знаменатель — нет (так как p — простое число)). Доказываемое утверждение равносильно делимости на p суммы . Проведем сравнение по модулю p:

Итак, задача сводится к проверке того, что

По условию p не делится на 3. Рассмотрим два возможных случая. 1)p = 3m + 1. Здесь m – четное число (иначе p делилось бы на 2). Тогда Имеем:

2)p = 3m + 2. Здесь m – нечетное число (иначе p делилось бы на 2). Тогда Имеем:

Задача 6:

Пусть . Опишите множество всех непрерывных функций таких, что .

Решение: По условию f – четная функция и f(0) = f(c). В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые переменные, константы, последовательности являются неотрицательными. Рассмотрим последовательность x₀ = x, (n ∈ N), во всех точках которой функция f должна принимать одно и то же значение. Если эта последовательность имеет конечный предел a, то для определения a имеем (с помощью перехода к пределу в рекуррентном соотношении) уравнение: a = a² + c, у которого нет решений при c > ¼; единственное решение a = ½ при c = ¼ и два решения и при 0 < c < ¼. В зависимости от значений c рассмотрим различные случаи.

1. При c > ¼ для любого x x² + c > x, поэтому последовательность (x_n) возрастающая и так как у нее нет конечного предела, . Пусть x₀ = 0, тогда x₁ = c, а отображение x → x² + c переводит отрезок [x_i – 1,x_i] в отрезок [x_i,x_i + 1]. На промежутке [0,c] зададим функцию f произвольным образом, лишь бы функция была непрерывна на нем и f(0) = f(c). Тогда соотношением f(x) = f(x² + c) функция последовательно задается на отрезках [x₀,x₁],[x₁,x₂], …  – на всей положительной полуоси, а в силу четности и на всей числовой прямой. Нетрудно видеть, что построенная функция удовлетворяет условию задачи; в то же время произвольная функция, удовлетворяющая условию задачи, имеет указанный вид.
2. Если c = 0, то для произвольного x > 0 и любого натурального n имеем:

   

   В силу непрерывности . Привлекая свойство четности, получаем: f(x) = const.
3. Если 0 < c < ¼, то
   • при x_n ≤ a₁ , откуда ; кроме того: . Таким образом, если x₀ = x ≤ a₁, то последовательность (x_n) возрастает, ограничена сверху числом a₁ и имеет его своим пределом (по теореме Вейерштрасса предел существует; с другой стороны он не равен a₂, так как . Итак, для x₀ = x ≤ a₁ (переходя к пределу по n в тождестве f(x) = f(x₀) = f(x_n) и используя непрерывность f) получаем: f(x) = f(a₁).
   • при a₁ < x_n < a₂ , откуда ; кроме того: . Таким образом, если a₁ < x₀ < a₂, то последовательность (x_n) убывает, ограничена снизу числом a₁ и имеет его своим пределом (предел существует и он не равен a₂, так как  ∀ n x_n ≤ x₀ < a₂). Итак, для a₁ < x₀ = x < a₂ с помощью предельного перехода вновь получаем: f(x) = f(a₁).
   • при x = x₀ ≥ a₂ рассмотрим последовательность (для функции f из условия задачи  ∀ n ∈ N f(x_n) = f(x₀). Имеем: при , откуда ; кроме того: т.е. . Таким образом, если x₀ ≥ a₂, то последовательность (x_n) убывает, ограничена снизу числом a₂ и имеет его своим пределом (предел существует и не равен a₁, так как . Итак, для x = x₀ ≥ a₂ (переходя к пределу по n в тождестве f(x) = f(x₀) = f(x_n) ) получаем: f(x) = f(a₂).
   Мы доказали, что искомая функция является постоянной на множествах [0,a₁],(a₁,a₂),[a₂, +  ∞ ). Из непрерывности и четности следует, что f(x) = const. Очевидно, что (любая) постоянная функция удовлетворяет условию задачи.
4. Если c = ¼, то повторив рассуждения предыдущего пункта (для x ≤ a₁ = a и x ≥ a₂ = a), снова получим, что искомая функция постоянна на [0,a] и [a, +  ∞ ), т.е. на положительной полуоси и, в силу четности, на всей числовой прямой.

Ответ.При 0 ≤ c ≤ ¼ f(x) = const. При c > ¼ функция f задается произвольным образом на отрезке [0,c] так, чтобы она была непрерывна на нем и f(0) = f(c); после этого с помощью своего функционального уравнения функция будет однозначно задана на всей числовой прямой и будет удовлетворять условию задачи.