Задача 1:

Для каждого натурального n ≥ 2 определите (с доказательством) какое из двух вещественных чисел a или b больше, если

aⁿ = a + 1, а b²ⁿ = b + 3a.

Задача 2:

ABCD – выпуклый четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке E. Докажите, что точки симметричные E относительно прямых AB,BC,CD,DA лежат на одной окружности.

Задача 3:

Рассмотрим все вещественнозначные функции f, определенные на отрезке [0,1], удовлетворяющие следующим трем свойствам:

1) f(x) ≥ 0 для всех x из [0,1];

2) f(1) = 1;

3) f(x) + f(y) ≤ f(x + y) для любых x,y,x + y из отрезка [0,1].

Найдите такую наименьшую константу c, что f(x) ≤ cx для любой функции f удовлетворяющей условиям (1) – (3) и для любого x из отрезка [0,1].

Задача 4:

a и b – два нечетных натуральных числа. Последовательность f_n определяется следующим способом: f₁ = a, f₂ = b. При n ≥ 3 f_n определяется как наибольший нечетный делитель f_n – 1 + f_n – 2. Докажите, что для достаточно больших n значение f_n постоянно, и найдите это значение как функцию от a и b.

Задача 5:

a₀,a₁,a₂, …  – последовательность положительных вещественных чисел такая, что для любого i (такие последовательности называются логарифмически вогнутыми). Докажите, что при n > 1