Задача 1:

p – нечетное простое число. Последовательность a_n определена следующим образом: a_k = k, при 0 ≤ p ≤ p – 2, а дл n ≥ p – 1 a_n – наименьшее положительное число, которое не образует арифметическую прогрессию длины p ни с какими p – 1 предыдущими членами последовательности. Докажите, что для любого n a_n это число, получающееся после записи n в системе счисления с основанием p – 1, прочитанное как число, записанное в системе с основанием p.

Задача 2:

Калькулятор может выполнять только следующие действия – вычислять тригонометрические функции  sin ,\; cos ,\; tg  и обратные тригонометрические функции  sin  ^– 1,\; cos  ^– 1, и  tg  ^– 1. Первоначально на индикаторе калькулятора – 0. Докажите, что конечным числом операций можно получить любое рациональное число q. (Калькулятор работает в радианах и имеет неограниченную точность вычислений)

Задача 3:

Дан неравнобедренный непрямоугольный треугольник ABC. O – центр описанной окружности A₁,B₁,C₁ – середины сторон BC,CA,AB соответственно. Точка A₂ взята на луче OA₁ так, что треугольники OAA₁ и OA₁A₂ подобны. Аналогично на лучах OB₁ и OC₁ взяты точки B₂ и C₂. Докажите, что три прямые AA₂,BB₂,CC₂ пересекаются в одной точке.

Задача 4:

q₀,\,q₁,\,q₂, …  – последовательность целых чисел, удовлетворяющая следующим двум условиям:

1) q_m – q_n делится на m – n при любых m > n ≥ 0;

2) существует такой многочлен P, что |q_n| < P(n) для всех n

Докажите, что существует такой многочлен Q, что для всех n q_n = Q(n).

Задача 5:

В некотором обществе любые два человека либо дружат, либо враждуют. Всего в обществе n человек, среди которых q пар друзей и среди любых трех человек по крайней мере двое враждуют. Докажите, что найдется такой человек среди врагов которого не менее чем q(1 – 4q/n²) пар друзей.