Задача 1:

Множество натуральных чисел от 1 до 1998 разбили на непересекающиеся пары a_i,b_i так, что числа в каждой паре отличаются на 1 или 6. Докажите, что число |a₁ – b₁| + |a₂ – b₂| +  …  + |a₉₉₉ – b₉₉₉| оканчивается на цифру 9.

Задача 2:

Даны две концентрические окружности. Хорда AC большей окружности касается меньшей в точке B. D – середина отрезка AB. Прямая, проходящая через точку A пересекает меньшую окружность в точках E и F, притом серединные перпендикуляры DE и CF пересекаются в точке M, лежащей на AB. Найдите отношение AM/MC.

Задача 3:

a₀,a₁ … ,a_n – числа из интервала (0, π /2), удовлетворяющие условию Докажите, что  tg a₀ tg a₁ • s tg a_n ≥ n^n + 1.

Задача 4:

Доска 98 × 98 покрашена в шахматном порядке. Разрешается в любом прямоугольнике, со сторонами параллельными сторонам квадрата поменять цвета на противоположные. Определите минимальное количество операций, необходимых для того, чтобы все клетки доски стали одного цвета.

Задача 5:

Докажите, что для любого n ≥ 2 существует n-элементное множество, квадрат разности любых двух элементов, которого делит их произведение.

Задача 6:

Для любого n ≥ 5 найдите максимальое k такое, что существует выпуклый n-угольник A₁A₂ … A_n для которого ровно в k четырехугольниов A_iA_i + 1A_i + 2A_i + 3 можно вписать окружность.