Задача 1:

На доске n × n расставлены шашки, притом каждая пустая клетка граничит (по стороне) с клеткой, в которой стоит шашка, и любые две шашки соединены путем (последовательностью клеток, граничащих по стороне), на каждой клетке которого стоит шашка. Докажите, что количество шашек, стоящих на доске не меньше (n² – 2)/3.

Задача 2:

ABCD – вписанный четырехугольник. Докажите, что |AB – CD| + |AD – BC| ≥ 2|AC – BD|.

Задача 3:

p – простое число больше 2 и целые числа a,b,c,d не делятся на p, притом для любого не делящегося на p целого числа r ra/p + rb/p + rc/p + rd/p = 2. Докажите, что по среди сумм a + b, a + c, a + d, b + c, b + d, c + d по крайней мере две делятся на p.

Задача 4:

a₁,a₂, … ,a_n (n > 3) – вещественные числа, притом a₁ + a₂ +  • s + a_n ≥ n и . Докажите, что  max (a₁,a₂, … ,a_n) ≥ 2.

Задача 5:

Двое играют в следующую игру: они по очереди записывают в клетках полоски 1 × 2000 буквы S или O Выигрывает тот игрок, после хода которого на доске будет записано слово SOS (в соседних клетках). Если к концу игры на доске не будет записано слова SOS, игра оканчивается вничью. Докажите, что второй игрок имеет выигрышную стратегию.

Задача 6:

ABCD – равнобочная трапеция с основаниями AB и CD. Окружность, вписанная в треугольник BCD касаетс CD в точке E. F – точка на биссектрисе угла DAC такая, что EF ⊥ CD. Окружность, описанная вокруг треугольника ACF пересекает CD в точках C и G. Докажите, что треугольник AFG равнобедренный.