Задача 1:

Найдите все тройки положительных рациональных чисел (x,y,z) с x ≤ y ≤ z для которых числа xyz, x + y + z и  – целые.

Задача 2:

В двоичной записи числа n ровно 1995 единиц. Докажите, что n! делится на 2^n – 1995.

Решение:

Докажем, что для числа n в двоичной записи которого ровно k единиц n! делится на 2^n – k индукцией по k. База k = 1 очевидна. Пусть в двоичной записи n – k + 1 единица, тогда n = 2^s + n′, где s ≥ k, а количество единиц в двоичной записи n′ равно k. Степень, в которой 2 входит в разложение n! на простые множители равна

Обозначим  – степень, в которой двойка входит в разложение числа k на простые множители. Тогда . Поскольку в двоичной записи n′ ровно k единиц , откуда .

Задача 3:

В пирамиде SABCD с основанием ABCD все ребра равны между собой. На ребрах BC и AS выбрали точки M и N соответственно так, что прямая MN перпендикулярна AD и BC. Найдите BM/MC и SN/NA.