Задача 1:

Задача 2:

Задача 3:

Задача 4: m,n – натуральные числа. Известно, что . Доказать, что .

Решение: Из условия следует, что m² < 2n². Так как m и n – целые числа, то m² ≤ 2n² – 1. Следовательно, , а последнее неравенство эквивалентно требуемому.

Задача 5: Докажите, что уравнение  sin ( sin x + x² + 1) + ( sin x + x² + 1)² = x – 1 не имеет вещественных корней.

Решение: Уравнение имеет вид f(f(x)) = x, где f(x) = x² + 1 +  sin x. Заметим, что f(x) ≥ x² для любого x. Значит, x = f(f(x)) ≥ (f(x))² ≥ x⁴, откуда 0 ≤ x ≤ 1 и |f(x)| ≤ 1. На промежутке [0,1] f(x) возрастает, откуда f(x) ≥ f(0) = 1. Но поскольку |f(x)| ≤ 1, то f(x) = 1, x = 0. Осталось заметить, что x = 0 не является корнем нашего уравнения.