Задача 1:

Задача 2: Внутри острого угла AOB взяли точку M. Точки M₁ и M₂ симметричны точке M относительно OA и OB. Доказать, что  ∠ M₁OM₂ = 2 ∠ AOB.

Решение:

Заметим, что  ∠ M₁OA =  ∠ MOA и  ∠ M₂OB =  ∠ MOB. Тогда

Замечание. То, что  ∠ AOB острый, существенно. В противном случае было бы верно равенство  ∠ M₁OM₂ = 360 – 2 ∠ AOB.

Задача 3: Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Доказать, что каждое из них делится на 5.

Решение: Пусть a₁, … ,a_n – данные числа, S – их сумма. Из условия известно, что сумма любых шести чисел делится на 5, то есть . Сложив эти выражения, получим, что

Это возможно только при S, делящемся на 5. Так как сумма всех чисел делится на 5, и сумма любых шести из них делится на 5, то и каждое число делится на 5.

Задача 4: