Задача 1: Окружность пересекает каждую из сторон четырехугольника в двух точках. Известно, что получившиеся четыре хорды равны по длине. Докажите, что суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.

Решение: Достаточно доказать, что четырехугольник описанный. Пусть O – центр данной окружности. A₁B₁,A₂B₂ …  – высекаемые хорды. Треугольники OA₁B₁, … OA₄B₄ равны по трем сторонам. Значит, равны их высоты из вершины O, Пусть их длина равна h. Окружность с центром в точке O и радиусом h вписана в исходный четырехугольник.

Задача 2: Найдите x – y, если x,y,z – целые числа, для которых верно, что y² – z² = 12 – x² + 2xy.

Решение: Перепишем исходное равенство в виде (x – y – z)(x – y + z) = 12. Сомножители в левой части одной четности и, значит, это 2 и 6 или  – 2 и  – 6. Разность x – y равна полусумме сомножителей, то есть 4 или  – 4. Нетрудно подобрать значения переменных для обоих случаев.

Задача 3: Что больше 1 × 2 × 3 ×  …  × 99 или 50⁹⁹?

Решение: Каждое из произведений 1 • 99,2 • 98,3 • 97, … ,49 • 51 по неравенству о средних строго меньше, чем 50². Значит: 99! = (1 • 99) • (2 • 98) • (3 • 97) •  …  • (49 • 51) • 50 < 50² •  …  • 50² • 50 = 50⁹⁹.

Задача 4: В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся его сторон в точках A₁,B₁,C₁. Оказалось, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны. Доказать, что треугольник ABC – равносторонний.

Решение: Пусть O - центр окружности. Обозначим углы треугольника ABC через 2 α ,2 β ,2 γ . Четырехугольники OC₁AB₁,OB₁CA₁,OA₁BC₁ вписанные, поскольку в каждом из них два противоположных угла прямые. Рассмотрим один из этих четырёхугольников, например OB₁AC₁. Воспользуемся тем, что AO – биссектриса угла треугольника ABC, и вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны:

 ∠ OB₁C₁ =  ∠ OAC₁ =  ∠ OAB₁ =  ∠ OC₁B₁ =  α . Рассмотрев аналогично два других четырёхугольника, заключаем, что углы треугольника A₁B₁C₁ равны  α  +  β , β  +  γ , α  +  γ . Пусть  α  ≥  β  ≥  γ , тогда  α  +  β  ≥  α  +  γ  ≥  β  +  γ . Приравнивая соответственные углы подобных треугольников, получаем что  α  =  β  =  γ , то есть  ∆ ABC равносторонний.