Задача 1:

Задача 2:

Задача 3:

Задача 4: p и q – простые числа. Найдите их, если известно, что уравнение x⁴ – px³ + q = 0 имеет целый корень.

Решение: Целый корень является делителем свободного члена уравнения, значит, может быть равен лишь  ± 1 или  ± q. Подставляя эти числа в уравнение, получаем

Второе из этих равенств дает условие , что невозможно; первое выполнено лишь при p и q разной четности. Отсюда получаем единственный ответ: p = 3,q = 2.

Задача 5: Из точки A вне окружности радиуса R проведены к ней две касательные AB и AC, где B и C – точки касания. Пусть длина отрезка BC равна a. Доказать, что , где r – радиус вписанной в треугольник ABC окружности, r_a – радиус вневписанной окружности.

Решение: Пусть O – центр окружности, K и M – точки ее пересечения с AO. Тогда K и M – середины дуг BC. Значит, CK и CM – биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине C треугольника ABC, а K и M – центры вписанной и вневписанной окружностей  ∆ ABC. Отсюда r + r_a = KM = 2R. Теперь достаточно проверить, что ¼a² = rr_a, что следует из теоремы о равенстве произведений отрезков пересекающихся хорд, примененной к хордам KM и BC.