Задача 1: Доказать, что положительный корень уравнения x(x + 1)(x + 2) … (x + 1980)(x + 1981) = 1 меньше, чем .

Решение: Пусть положительный корень уравнения . Тогда

Мы пришли к противоречию.

Задача 2:

Задача 3: Найти все такие простые числа a и b, что a^b + b^a – тоже простое.

Решение: a и b должны быть разной четности, значит, одно из них двойка, а другое нечетное. Пусть a = 2. Тогда получаем, что 2^b + b² – простое число, но при нечетном b, не делящемся на 3, 2^b + b² делится на 3 и простым не является. Поэтому возможно два варианта: a = 2 и b = 3 или b = 2, a = 3.

Задача 4: Назовем сечение, проведенное в четырехугольной призме через средние линии противоположных оснований параллельно боковым ребрам, серединным сечением. Доказать, что для того, чтобы диагональные сечения, проведенные через боковые ребра, были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы серединные сечения были равновелики.

Решение: Диагональные сечения перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны диагонали основания. Это эквивалентно равенству средних линий основания (см. задачу 12). В этом случае серединные сечения являются параллелограммами, у которых одна и та же высота (высота призмы), и равны основания. Значит эти параллелограммы равновелики.

Задача 5: Пусть 0 < x <  π /6. Доказать, что при всех натуральных n  sin x +  +  tg ²x +  sin ³x +  tg ⁴x +  …  +  sin ^2n – 1x +  tg ²ⁿx < 1,4.

Решение: На промежутке (0; π /6) функции  sin x и  tg x возрастают, следовательно, оцениваемая сумма меньше, чем её значение в точке x =  π /6. Значит, достаточно доказать,что . Левая часть этого выражения записывается в виде

3x 3y 3xy 3 yx 3yx