Задача 1: Найти все целые x, для которых  – простое число.

Решение: |4x² – 12x – 27| = |2x – 9| • |2x + 3|, значит, один из множителей равен единице, а другой простому числу. Приравнивая каждый из сомножителей единице, получаем ответы:  – 2;  – 1; 4; 5.

Задача 2: a > b > 0; a² + b² = 6ab. Найти .

Решение:

Поскольку a > b > 0, то .

Задача 3: Из точки M, взятой вне угла A, проведены к нему две секущие прямые, одна из которых отсекает на сторонах угла два равных отрезка AB и AC, а другая пересекает эти стороны в точках D и E соответственно. Доказать, что BD:CE = MD:ME.

Решение: Проведём DK || AE (K – лежит на прямой BM) треугольник KDB подобен треугольнику CAB и, следовательно, также равнобедренный (BD = KD). Из подобия треугольников CEM и KDM следует равенство , откуда , из которого заменой KD на BD получаем искомое.

Задача 4: x^x + y^y = x^y + y^x, x и y – натуральные числа. Докажите, что x = y.

Решение: Переписав равенство в виде x^y(x^x – y – 1) = y^y(y^x – y – 1), заметим, что x ≤ y. Аналогично, вынося за скобки y^x, убедимся, что y ≤ x. Значит, x = y.

Задача 5: