Задача 1:

Задача 2: Докажите, что общие касательные к окружности x² + y² = 2 и к параболе y = ⅛x² взаимно перпендикулярны.

Решение: Так как картинка симметрична относительно Oy, то точка пересечения касательных лежит на оси Oy и достаточно показать, что угол между общей касательной и осью Oy равен 45  . Для этого достаточно предъявить общую касательную с уравнением y = x + a. Касательными к окружности с таким уравнением будут прямые y = x ± 2. Проверим, что y = x – 2 является касательной к параболе, для чего убедимся, что система

имеет единственное решение. Исключив y, получим квадратное уравнение ⅛x² = x – 2 с нулевым дискриминантом. Таким образом, y = x – 2 – требуемая общая касательная.

Задача 3: Дана последовательность (a_n), где a_n = n⁸ + n² + 1. Какое наименьшее число первых членов этой последовательности надо взять, чтобы их сумма делилась на 10?

Решение: Все члены последовательности нечетны. Значит, нужно взять сумму четного числа членов. Последовательные члены дают при делении на пять остатки 3,1,1,3,1 … (далее остатки повторяются). Чтобы получить сумму четного числа остатков, кратную пяти, нужно взять 16 членов последовательности.

Задача 4: Биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения в одном и том же отношении, считая от вершины. Докажите, что треугольник равносторонний.

Решение: Пусть AA₁,BB₁,CC₁ – биссектрисы треугольника ABC,O – точка их пересечения. BO:OB₁ = AO:OA₁ – по условию. Значит, треугольники AOB и A₁OB₁ подобны. Тогда  ∠ ABO =  ∠ A₁B₁O и, следовательно, AB || A₁B₁. Теперь, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем, что CA₁:BA₁ = CB₁:AB₁. А так как биссектрисы делят противоположную сторону пропорционально заключающим сторонам, то и AC:AB = BC:AB. Следовательно AC = AB. Аналогично заключаем, что AC = BC. Значит  ∆ ABC равносторонний.

Задача 5: Что больше: 48²⁵ или 344¹⁷?

Решение: 48²⁵ < 49²⁵ = 7⁵⁰ < 7⁵¹ = 343¹⁷ < 344¹⁷.