Задача 1: Найти длины ребер прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, если они выражаются натуральными числами и площадь поверхности параллелепипеда численно равна его периметру.

Решение: Пусть a – сторона основания, b – высота. Имеем: 4b + 8a = 2a² + 4ab, где a и b – натуральные числа. Заметим, что 4ab ≥ 4b всегда,а 2a² > 8a при любом a > 4. Значит, чтобы равенство было выполнено, в a должно быть не больше четырёх. Заметив, что a, кроме того, должно быть чётно, получаем единственный ответ: a = b = 2.

Задача 2:

Задача 3: ABCD – выпуклый четырехугольник,  ∠ BAC =  ∠ CBD,  ∠ ACD =  ∠ BDA. Докажите, что AC² = BC² + AD²

Решение: Заметим, что треугольник ABC подобен треугольнику BOC, а треугольник AOD подобен треугольнику ADC (O – точка пересечения диагоналей). Значит и . Отсюда BC² + AD² = AC • OC + AC • AO = AC².

Задача 4: Докажите, что при всех a,b,c > 0 выполнено неравенство 2^a + b + 2^b + c + 2^c + a < 2^{a + b + c + 1} + 1.

Решение: Пусть 2^a = A, 2^b = B, 2^c = C (A,B,C > 1). Перепишем доказываемое неравенство в виде 2ABC + 1 – AB – AC – BC > 0. Заметим, что

что и требовалось.

Задача 5: К каждой ветви гиперболы проведено по касательной и точки пересечения касательных с осями координат соединены отрезками. Доказать, что треугольники, отсеченные во второй и четвертой четвертях, подобны.

Решение:

Найдём уравнение касательной к гиперболе в точке . Уравнение прямой, проходящей через эту точку, имеет вид . Чтобы эта прямая была касательной, необходимо, чтобы система

имела единственное решение. Исключив y, получаем квадратное уравнение с дискриминантом , откуда следует, что система имеет единственное решение при . Таким образом уравнение касательной (Знакомые с понятием производной могут найти уравнение касательной гораздо быстрее) к гиперболе . Эта касательная пересекает оси координат в точках и (2x₀;0). Тогда произведение длин отрезков, отсекаемых на осях, равно . Мы видим, что это произведение не зависит от выбора точки x₀, а значит одинаково для всех касательных. Из этого и следует требуемое подобие.