Задача 1: a – натуральное число. Найти все такие натуральные числа x,y,z, что равенство axⁿ + 1982yⁿ = z^n + 1 верно при всех натуральных n.

Решение: Аналогично задаче 82.27. Ответ: x = y = z = 1982 + a.

Задача 2:

Задача 3: Пусть . Докажите, что уравнение f(f(f(x))) = x имеет единственное решение x = 1.

Решение: При x > 1 выполнено неравенство 1 < x² – x + 1 < x² и, следовательно, 1 < f(x) < x, откуда f(f(f(x))) < x. При 0 < x < 1 выполнено нераенство x² < x² – x + 1 < 1 и, следовательно, x < f(x) < 1, откуда f(f(f(x))) > x. При x < 0 верно, что x² – x + 1 > 1 и f(f(f(x))) > x. x = 0 не удовлетворяет нашему уравнению, значит единственное решение x = 1.

Задача 4:

Задача 5:  – 1 < x < 1 и 0 < p < 1. Докажите, что .

Решение: Рассмотрим функцию f(x) = (1 + x)^p + (1 – x)^p – 2 + p(1 – p)x². Вычислим ее первую производную: f′(x) = p(1 + x)^p – 1 – p(1 – x)^p – 1 + 2p(1 – p)x, а затем вторую:

Значит f′(x) возрастает на ( – 1;1), f′(0) = 0. Тогда f(x) имеет максимум при x = 0. В этой точке неравенство f(x) ≤ 0 верно, значит оно верно на всём промежутке ( – 1;1).