Задача 1:

a) В 100-этажном доме установлен лифт с двумя кнопками. Если нажать на первую кнопку, мы поднимемся на 7 этажей вверх, если нажать на вторую – спустимся на 9 этажей вниз. Как попасть с 1-го этажа на 72-й?

b) Докажите, что нельзя попасть с 4-го этажа на 5-й двадцатиэтажного дома, если нажатие на одну кнопку поднимает нас на 13 этажей, а нажатие на другую – опускает на 8 этажей.

Решение: b) На каком бы мы этаже ни находились, всегда можно нажать лишь одну кнопку лифта (или ни одной). Значит, мы можем перемещаться по этажам лишь следующим образом: 4 → 17 → 9 → 1 → 14 → 6 → 19 → 11 → 3 → 16 → 8, после чего пользоваться лифтом нельзя и, значит, нельзя с его помощью попасть на пятый этаж.

Задача 2: Найдите все 4-х значные числа вида , которые кратны соответствующим двузначным числам .

Решение: Достаточно найти числа вида , кратные . Заметим, что если и различны (то есть a ≠ b), то они не могут иметь общих простых множителей, отличных от 2 и 3. Из условия делится на следует, что или в разложении на простые множители содержит только числа 2, 3, 5. Исходя из этого получаем, что нам подходят следующие числа : 11; 12; 15; 18; 22; 24; 25; 33; 36; 44; 45; 48; 55; 66; 75; 77; 88; 99. Теперь нетрудно найти все искомые четырёхзначные числа.

Задача 3:

Задача 4: На стороне OA угла AOB отложены отрезки OC и OK (OK > OC), а на стороне OB – соответственно равные им отрезки OD и OM. Пусть H – точка пересечения прямых CM и DK. Докажите, что точка H лежит на биссектрисе угла AOB.

Решение: Отразим картинку симметрично относительно биссектрисы угла O. При этом точки C и D, а так же K и M перейдут друг в друга. Значит перейдут друг в друга отрезки CM и DK . Следовательно, точка их пересечения, остающаяся неподвижной, лежит на биссектрисе угла O.