Задача 1:

Задача 2: Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди натуральных чисел от 1 до 100 так, чтобы сумма любых двух выбранных делилась на 6?

Решение: Так как сумма любых двух чисел делится на 6, то остатки всех чисел при делении на шесть одинаковы и, следовательно, равны 0 или 3. Чисел, дающих остаток 3, среди чисел от 1 до 100 семнадцать, а кратных 6 – всего 16. Значит, можно выбрать 17 чисел: 3,9, … ,99.

Задача 3: В треугольнике ABC, в котором  ∠ A <  ∠ B <  ∠ C, проведены биссектрисы внешних углов при вершинах A и C до пересечения с продолжениями противоположных сторон в точках D и E. Оказалось, что AD = CE = AC. Найти величины углов треугольника ABC.

Решение: Биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противоположной стороны так, что вершина, соответствующая большему из противолежащих углов, оказывается между вершиной, соответствующей меньшему из них, и точкой пересечения. Обозначим углы треугольника ABC через  α , β , γ . Тогда , . Воспользуемся тем, что треугольники ADC и ACE равнобедренные:

Решив эту систему, найдем углы треугольника ABC:  α  = 12  , β  = 36  , γ  = 132  .

Задача 4: a,b,c – натуральные числа. Докажите, что значение выражения a³(b – c) + b³(c – a) + c³(a – b) кратно сумме a + b + c.

Решение: Перепишем выражение в виде ab(a² – b²) + ac(c² – a²) + bc(b² – c²). Заметим, что заменив (a + b) на ( – c),(b + c) на ( – a),(a + c) на ( – b), мы не изменим остатков от деления на (a + b + c), так как эти выражения при делении на (a + b + c) дают одинаковые остатки. После такой замены исходное выражение примет вид .