Задача 1: Найдите натуральное число, равное 1/50 суммы всех предшествующих ему четных натуральных чисел.

Решение: Пусть искомое число равно 2k + 1 или 2k + 2. Тогда сумма предшествующих чётных чисел 2 + 4 +  …  + 2k равна k(k + 1). Составим уравнения:

Таким образом искомое число равно 202.

Задача 2: Можно ли в клетках квадратной таблицы 5 × 5 расставить числа  + 1, – 1,0 так, чтобы все суммы (в любом столбце, строке и на двух главных диагоналях) были различны?

Решение: Нельзя. Наибольшая сумма, которую можно получить из этих цифр равна  + 5, наименьшая равна  – 5. Всего различных сумм 11, а нужно 12 (пять строк, пять столбцов, две диагонали).

Задача 3: Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что произведение длин оснований трапеции равно сумме произведений длин отрезков одной диагонали и длин отрезков другой диагонали, на которое они разбиваются точкой пересечения.

Решение: Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (AB и CD – основания). Воспользуемся подобием треугольников ABO и CDO: . Отсюда получаем, что ; . Подставив DO² + OC² вместо DC², получим

Задача 4:

Задача 5: O – произвольная точка медианы AA₁ треугольника ABC. Прямая BO пересекает сторону AC в точке B₁. Прямая CO пересекает сторону AB в точке C₁. Докажите, что B₁C₁ параллельно BC.

Решение: Из условий заключаем, что S_ABO = S_ACO. Заметим, что

Аналогично получаем, что . Воспользовавшись равенством площадей треугольников ABO и ACO, получаем, что , то есть прямые B₁C₁ и BC параллельны.