Задача 1: Имеет ли вещественное решение уравнение

Решение: Если x и y одного знака, то левая часть положительна. Если x и y разного знака, то все слагаемые, кроме квадратов отрицательны. Одно из слагаемых и по модулю не меньше, чем и, значит, сумма отрицательна. Проделав те же рассуждения для трех оставшихся слагаемых, получим, что вся сумма отрицательна. Таким образом, уравнение вещественных корней не имеет.

Задача 2: Доказать, что касательные, проведенные к параболе y = ½x² из точки , взаимно перпендикулярны.

Решение: Касательная к параболе y = ½x² в точке (x₀;y₀) имеет уравнение . Эта касательная проходит через точку при или . Получили, что касательные, проведенные из точки имеют угловые коэффициенты и , что и означает их перпендикулярность.

Задача 3: В конечной возрастающей арифметической прогрессии сумма двух каких-то последовательных членов, среди которых нет первого, равна члену, следующему за ними. Найти прогрессию, если сумма её членов равна 11d (d – разность прогрессии).

Решение: a_k + a_k + 1 = a_k + 2, откуда a_k = d (d – разность прогрессии). Значит прогрессия имеет вид:  … , – d,0,d,2d,3d, … . Пусть md и nd – первый и последний члены прогрессии. Так как a_k – не первый член прогрессии, то m < 0. Вычислим сумму прогрессии: , откуда (m + n)(n – m + 1) = 22. Поскольку оба сомножителя целые и n – m + 1 > 0, то получаем два варианта: или . Решив эти системы, заключаем, что прогрессия имеет вид  – 4d, – 3d, … ,6d или  – 10d, – 9d, … ,11d.

Задача 4: ABCD – вписанный в окружность четырехугольник, причем известно, что диагональ AC – биссектриса угла DAB. Докажите, что AC • BD = AD • DC + AB • BC.

Решение:

Из свойств вписанных углов, заключаем, что  ∠ CBD =  ∠ CAD =  ∠ CAB =  ∠ CDB и, следовательно, треугольники ABC и BOC, а также ADC и DOC, подобны (O – точка пересечения диагоналей). Значит, и , откуда AB • BC + AD • DC = AC • BO + AC • DO = AC • DB.

Задача 5: Найдите все такие натуральные числа x,y,z, что равенство xⁿ + yⁿ = z^n + 1 имеет место при любом натуральном n.

Решение: Запишем данное равенство при n = 1 и n = 2 и выразим произведение xy:

x и y – корни квадратного уравнения t² – z²t + ½(z⁴ – z³) = 0.

Из условия неотрицательности дискриминанта: 2z³ – z⁴ ≥ 0 находим, что z может принимать только значения 1 и 2. Натуральные корни уравнение имеет только при z = 2. Ответ: x = y = z = 2.