Задача 1: Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию, синусы удвадцатеренных углов, взятых в той же последовательности, также образуют арифметическую прогрессию. Найдите углы треугольника.

Решение: Пусть  α , β , γ  – углы треугольника,  α  ≤  β  ≤  γ . Тогда  α  +  γ  = 2 β  и, следовательно,  β  = 60  ,  α  = 60   – x,  γ  = 60   + x. Известно, что  sin 20 α  +  sin 20 γ  = 2 sin 20 β , тогда по формуле суммы синусов 2 sin 10( α  +  γ ) •  cos 10( α  –  γ ) = 2 sin 20 β . Отсюда  cos 10( α  –  γ ) = 1, 10( α  –  γ ) = 2 π n, то есть 20x = 2 π n (n – целое число); . Помня о том, что 0   ≤ x ≤ 60  , получаем возможные варианты: x = 0, , , . Значит, треугольник может иметь углы: (60°,60°,60°); (42°,60°,78°); (24°,60°,96°); (6°,60°,114°).

Задача 2: Найдите какую-нибудь первообразную функции f(x) =  ctg ²x.

Решение: Записав , видим, что функция f(x) =  –  ctg x – x является требуемой первообразной.

Задача 3:

Задача 4: К параболе y = x² – 0,25 проведены две касательные так, что точки касания и точка пересечения касательных являются вершинами равностороннего треугольника. Докажите, что начало координат является центром этого треугольника.

Решение: Касательные к параболе в точках (x₁;y₁), (x₂;y₂) имеют уравнения и , абсцисса их точки пересечения равна . Для того, чтобы эта точка была равноудалена от точек касания необходимо, чтобы выполнялось равенство y₁ = y₂ и, следовательно, x₁ =  – x₂. Получили, что картинка симметрична относительно оси Oy, то есть касательные имеют углы наклона 60   и 120  . Тогда и наш равносторонний треугольник имеет вершины в точках и (0; – 1). Одна из его медиан лежит на оси Oy и делится началом координат в отношении 1:½, то есть 2:1. Значит, начало координат является центром этого треугольника.

Задача 5: