Задача 1:

Задача 2:

Задача 3:

Задача 4: Рассмотрим всевозможные параболы y = x² + ax + b², пересекающие оси координат в трех разных точках. Для каждой такой параболы через эти три точки проведем окружность. Докажите, что все окружности имеют общую точку.

Решение: Точки пересечения параболы с осями имеют координаты: (x₁;0), (x₂;0), (0;b²), где x₁ и x₂ – корни квадратного трехчлена ax² + x + b². Обозначим их A, B, C соответственно. Проведем через них окружность и обозначим через Y вторую точку пересечения с осью Oy. Тогда OA • OB = OC • OY по теореме о двух секущих окружности, проведенных из одной точки, то есть |x₁| • |x₂| = b² • OY. По теореме Виета |x₁| • |x₂| = |x₁x₂| = b². Тогда OY = 1 то есть все окружности проходят через точку (0;1).

Задача 5: Найдите наибольшее значение произведения xy, если:

Решение: Пусть 1 – ½ cos (x – 2y + 1) = A. Очевидно, что ½ ≤ A ≤ 1½). Запишем исходное равенство в виде , где t = x + y – 1 и заметим, что t – корень квадратного уравнения At² – t + A = 0. Значит это уравнение должно иметь неотрицательный дискриминант: 1 – 4A² ≥ 0. Отсюда |A| ≤ ½ и, следовательно, A = ½,  cos (x – 2y + 1) = 1. Получили такую систему:

Решив ее, находим, что x = 1 + ⅔ π n, y = 1 – ⅔ π n. Тогда , и максимальное значение произведения xy равно 1 (достигается при x = y = 1).