Задача 1:

Задача 2:

Задача 3: Две касательные, проведенные к параболе y = x² + x, взаимно перпендикулярны. Докажите, что расстояние между точками касания не меньше 1.

Решение: Заметим, что вместо параболы y = x² + x можно рассматривать параболу y = x². Касательная к ней в точке x₁ имеет угловой коэффициэнт 2x₁. Для того, чтобы касательные, проведенные в точках x₁ и x₂ были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы 2x₁ • 2x₂ =  – 1, то есть x₁x₂ =  – ¼. Расстояние между точками касания не меньше расстояния между их проекциями на ось Ox, которое равно |x₁ – x₂|. Поскольку x₁x₂ < 0, то . Что и требовалось.

Задача 4: Доказать неравенство:

Решение: Аналогично задаче 3 9-го класса (ФМШ).

Задача 5: Основанием пирамиды является ромб, а суммы косинусов противоположных плоских углов при вершинах пирамиды равны. Докажите, что одна из диагоналей основания перпендикулярна плоскости диагонального сечения пирамиды.

Решение: KLMNO- пирамида. Пусть a – длина стороны основания, k, l, m, n – боковые ребра. Выразим косинусы плоских углов при вершине O по теореме косинусов, применив ее к каждой из боковых граней и запишем условие на эти косинусы в виде

Домножая на 2klmn, преобразуем к виду (mk + ln)(l – n)(m – k) = a²(l – n)(k – m), откуда l = n или m = k. Пусть (для определенности) l = n. Тогда точка O равноудалена от L и N и, значит, лежит в плоскости, перпендикулярной LN, проходящей через середину LN. Это и означает, что плоскость диагонального сечения KON перпендикулярна диагонали LN.