Задача 1: Натуральные числа от 1 до 9 расставлены в вершинах и центре куба так, что у любых трех чисел, стоящих на прямой, проходящей через центр куба, сумма одна и та же. Какие числа могут стоять в центре куба?

Решение: Из условия следует, что суммы чисел, расположенных на концах четырёх главных диагоналей, одинаковы. Тогда сумма всех чисел кроме центрального должна делиться на 4. Поскольку сумма всех чисел от 1 до 9 равна 45, то центральное число может быть равно только 1, 5 или 9. Соответствующие расстановки строятся тривиально.

Задача 2: Среди 6-значных чисел есть ровно 729, в записи которых не встречается никаких цифр, кроме 1, 2, 3. Найти сумму этих чисел.

Решение: Цифра 1 будет стоять по 3⁵ = 243 раза на первом, втором, … , шестом местах. Также остальные цифры. Значит, сумма всех чисел равна (1 + 2 + 3) • (100000 + 10000 + 1000 + 100 + 10 + 1) • 243 = 666666 • 243.

Задача 3: Числа от 1 до 25 выписаны в порядке возрастания в строчку. Можно менять местами любые два числа между, которыми стоит ровно два других числа. Можно ли с помощью таких операций расставить эти числа в порядке убывания?

Решение: Данная операция переставляет числа, дающие одинаковые остатки при делении на 3. Значит, поскольку числа 2 и 24 поменять местами невозможно, то и переставить числа в обратном порядке нельзя.

Задача 4: В первый город завод отправил 552 телевизора, во второй – 600, а в третий – 648 телевизоров. Все телевизоры в контейнерах. Общее число контейнеров меньше, чем на 5 отличается от утроенного числа телевизоров в одном контейнере. Сколько контейнеров отправлено в каждый город?

Решение: Количество телевизоров в одном контейнере (T) является делителем чисел 552, 600, 648. Тогда T – делитель числа 24 и, следовательно, T ≤ 24. Значит, в первый город отправили не менее 23 контейнеров, во второй и третий город – не менее, чем 25 и 27 контейнеров соответственно, то есть общее количество контейнеров K ≥ 75. Отсюда получаем, что утроенное число телевизоров в одном контейнере 3T ≥ 71. Вспомнив, что T – целое число, T ≤ 24, заключаем, что T = 24. Значит, в города отправлено 23, 25, 27 контейнеров.