Задача 1: Про действительные числа x,y,z,t известно, что xy = zt, x – y = t – z. Докажите, что или x =  – z;y =  – t или x = t;y = z.

Решение: . Возведем второе уравнение в квадрат и, использовав первое, получим (x + y)² = (t + z)², откуда x + y = t + z или x + y =  – t – z. Рассморев сумму и разность полученного равенства и второго уравнения системы, получим требуемое.

Задача 2: На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки C₁ и B₁ так, что  ∠ ABB₁ = 5  ,  ∠ ACC₁ = 10  . Найдите углы треугольника AB₁C₁, если  ∠ ABC = 60  ,  ∠ ACB = 70  .

Решение:  ∠ A = 50. Чтобы найти остальные углы треугольника AB₁C₁, заметим, что треугольник C₁BC – равносторонний, треугольник B₁CB – равнобедренный (B₁C = BC), так как  ∠ BB₁C =  ∠ B₁BC = 55  . Значит, B₁C = BC = CC₁, то есть треугольник C₁B₁C равнобедренный. Следовательно, . Отсюда находим, что  ∠ AB₁C₁ = 180° – 85° = 95  ,  ∠ AC₁B₁ = 180° – 85° – 60° = 35  .

Задача 3: Докажите, что a) 1,01¹ººº > 10. b) 1,01¹ººº > 1000.

Решение: a) При умножении числа на 1,01 к нему прибавляется его сотая часть. При умножении числа, большего 1, на 1,01 к нему прибавляется больше, чем 0,01. При умножении 1,01 • 1,01 •  …  • 1,01 (1000 раз) к числу 1,01 прибавляется больше, чем 999 • 0,01, то есть 1,01¹ººº > 1,01 + 0,01 • 999 = 11, что и требовалось.

b) 1,01¹ººº = (1,01¹ºº)¹º > (1,01 + 99 • 0,01)¹º = 2¹º = 1024 > 1000.

Задача 4: Найдите наименьшее натуральное число, которое увеличивается в пять раз при переносе его последней цифры в начало.

Решение: Пусть искомое число имеет вид . Условие записывается в виде . Отсюда: (5 • 10ⁿ – 10^n – 1)a_n + (5 • 10^n – 1 – 10^n – 2)a_n – 1 +  …  + (5 • 10 – 1)a₁ = (10ⁿ – 5)a₀. Каждое слагаемое в левой части делится на 5 • 10 – 1 = 49. Значит, 10ⁿ – 5 делится на 7. Минимальное n при котором это возможно равно 5, тогда a₀ = 7. Отсюда искомое число 142857.