Задача 1: Существует ли целое число x такое, что x³ – 3x² + 2x + 1984 = 0?

Решение: Перепишем уравнение в виде  – 1984 = x(x – 1)(x – 2). 1984 не делится на 3 и, следовательно, не может быть представлено в виде произведения трех последовательных целых чисел. Значит, целых корней уравнение не имеет.

Задача 2: Точка D – середина основания BC равнобедренного треугольника ABC. На отрезке AB взяли точку M так, что AM = ⅓AB. Найдите  ∠ MCB, если известно, что AD = BC.

Решение: Пусть K – середина MB, X – середина DK. Тогда DK || CM, MX || AD (как средние линии треугольников CBM и ADK соответственно), MX = ½AD. Но, так как OMXD – параллелограмм (O – точка пересечения MC и AD), то MX = OD и, следовательно, O – середина AD. Значит, треугольник ODC равнобедренный и, следовательно,  ∠ MCB = 45  .

Задача 3: Что больше: или ?

Решение: 3⁴ > 2⁵, 3⁸ > 2¹º, значит

то есть .

Задача 4: На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC вне него построены квадраты; AM, BN, CK – стороны этих квадратов, перпендикулярные сторонам AB, BC, AC соответственно. Докажите, что

Решение: Рассмотрим вектора, полученные из , , поворотом на 90  . Они равны векторам , , соответственно, сумма которых равна . Значит, и сумма исходных векторов равна .

Задача 5: Про вещественные числа a, b и c известно, что

Докажите, что a = b = c.

Решение: Условие можно переписать в виде трех равенств:

Перемножив их, получим: a²b²c²(a – b)(b – c)(c – a) = (c – b)(a – c)(b – a) =  – (a – b)(b – c)(c – a), что возможно только при наличии нулевого сомножителя. Таким образом, среди чисел a, b, c найдутся два равных, а, значит, все числа равны.