Задача 1: Докажите неравенство: x² + y² + z² + 1 ≥ xy + yz + x + z (x, y, z – вещественные числа).

Решение: После перенесения всех слагаемых в левую часть и домножения на 2 получим:

Задача 2:

Задача 3: Решить уравнение:

(квадратными скобками обозначена целая часть числа).

Решение: Левая часть уравнения – целое число, значит, x – целое число. Тогда x³ – 3x² + 2x = x(x – 1)(x – 2) делится на 6 и, следовательно, . Это уравнение имеет корни x = 2, x = 3 или x =  – 2.

Задача 4: Дана замкнутая ломанная A₁A₂A₃ … A₁₀; точки B₁,B₂, … ,B₁₀ – середины ее звеньев, занумерованные в произвольном порядке. Докажите, что .

Решение: Заметим, что каждый вектор можно представить в виде разности , где O – какая-то точка плоскости. Тогда

Докажем, что сумма векторов равна сумме векторов OA_i. Вектор, проведенный из точки O в середину отрезка A_kA_n, равен полусумме векторов и . Значит, сумма равна сумме полусумм векторов , , k = 1,2, … 10 (считаем A₁₁ = A₁). Каждый вектор входит ровно в две такие полусуммы. Значит, , что и требовалось доказать.

Задача 5: ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб с ребром 1м. На ребрах AA₁,AB,CD выбраны соответственно точки K, L, M так, что AK = 95см., AL = 70см., CM = 26см. Пересекает ли плоскость KLM ребро C₁D₁?

Решение: AK = 95 см., AL = 70 см., CM = 26 см. Будем строить наше сечение:

X – точка пересечения ML и AD. , тогда XA = 1750 см;

Y – точка пересечения XK и A₁D₁; , тогда  см;

Z – точка пересечения LK и B₁A₁; , тогда  см;

О – точка пересечения ZY и C₁D₁; тогда  см < 100 см, то есть O лежит на отрезке C₁D₁. Значит сечение пересекает ребро C₁D₁.