Задача 1:

Задача 2: 17 пионеров нашли 180 грибов, причем никакие двое не нашли одинакового количества грибов. Докажите, что у какого-то пионера число грибов делилось на 5.

Решение: Предположим, что ни у одного из пионеров число грибов не кратно пяти. Тогда общее количество собранных грибов не меньше, чем сумма 1 + 2 + 3 + 4 + 6 +  …  + 19 + 21 + 22 (в сумму входят 17 первых не делящихся на 5 натуральных чисел), которая равна , что противоречит условию. Значит, предположение неверно.

Задача 3: Пионеры ходили на далёкое озеро, до которого 12км. Часть пути они шли в гору со скоростью 3 км/ч, часть – по ровному месту со скоростью 4 км/ч, а часть – под гору со скоростью 5 км/ч. Дорога туда и обратно заняла 6 ч 16 мин. Сколько времени пионеры шли по ровному месту?

Решение: Пусть x – время, затраченное на весь путь по ровному месту. Тогда  – длина ровного пути, а  – общая длина остального пути. За путь «туда и обратно» пионеры один раз пройдут это расстояние, идя в гору, а другой раз – спускаясь с горы. Значит общее время, затраченное на прогулку . Откуда x = 2 (часа).

Задача 4: M и N – середины сторон BC и CD квадрата ABCD. Отрезки BN и DM пересекаются в точке O. Докажите, что прямая AO является биссектрисой угла BAD.

Решение: Рассмотрим симметрию относительно AC. При этом точка C останется на месте, а точки B и D перейдут друг в друга. Тогда перейдут друг в друга точки M и N, а, значит, точка пересечения отрезков BN и DM перейдет сама в себя, а это и означает, что она лежит на AC – биссектрисе угла BAD.