Задача 1: Докажите, что дробь несократима ни при каком натуральном n.

Решение:

Записав заменатель в виде n² + 4n + 3 = (n + 2)² – 1, заметим, что общим делителем числителя и знаменателя может быть только  ± 1, то есть дробь несократима.

Задача 2: Точки M и N выбраны на сторонах BC и CD квадрата ABCD так, что лучи AM и AN делят угол BAD на три равные части. Высота ME треугольника AMN продолжена до пересечения с отрезком CD в точке F. Докажите, что треугольник DEF равнобедренный.

Решение: Продолжим MF до пересечения с продолжением стороны AD в точке X.  ∠ MAD = ⅔ ∠ BAD = 60,  ∠ AME = 60 (из прямоугольного треугольника AME). Тогда треугольник AMX равносторонний, и AX = AM. Поскольку AM = AN, треугольник NAX равнобедренный. ND и XE – высоты к боковым сторонам равнобедренного треугольника. Значит, F – их точка пересечения – лежит на оси симметрии треугольника ANX. Следовательно, FE = FD. Что и требовалось.

Задача 3: Докажите, что при любых вещественных числах a и b хотя бы одно из уравнений x² + 2ax + b = 0, ax² + 2bx + 1 = 0, bx² + 2x + a = 0 имеет вещественный корень.

Решение: Пусть первые два уравнения не имеют вещественных корней, тогда их дискриминанты отрицательны: a² – b < 0 и b² – a < 0. Перепишем неравенства в виде a² < b,b² < a и, заметив, что a и b положительны, перемножим их: a²b² < ab; ab < 1. Это означает, что дискриминант третьего уравнения положителен. Значит, хотя бы одно из уравнений имеет вещественный корень.

Задача 4: Перемножив шесть последовательных натуральных чисел, получили число *84933148400, первая цифра которого стерлась. Восстановите эту цифру.

Решение: Среди шести последовательных натуральных чисел есть одно, делящееся на 6, и кроме него ещё одно, делящее на 3. Тогда их произведение будет делиться на 9. Воспользовавшись признаком делимости на 9, получаем, что стерта цифра 1.