Задача 1: Вычислите: .

Решение: Построим график подинтегральной функции и заметим, что искомый интеграл равен площади заштрихованного треугольника, то есть S = ½ • 3(5 – 1¼) = 5⅝.

Задача 2:

Задача 3:

Задача 4: M – произвольная точка основания ABC тетраэдра ABCD. Через точку M проведены сечения параллельные боковым граням. Пусть S₁, S₂ и S₃ – площади боковых граней; x, y, z – площади соответствующих сечений. Докажите, что .

Решение: Пусть A₁C_P – сечение, параллельное ACD, A₁ ∈ AB, C₁ ∈ CB. Треугольники ACD и A₁C₁P подобны, значит, их площади относятся как квадраты соответствующих длин. Пусть b′ – длина A₁C₁; b – длина AC. Тогда . Определим аналогично длины a, a′, c, c′. Тогда доказываемое равенство примет вид . Проверим это. Продолжим отрезок BM и обозначим K точку пересечения AC и BM. Заметим, что . Записав аналогичные равенства для и , получим, что , что и требовалось.

Задача 5: