Задача 1:

Задача 2:

Задача 3: Решите уравнение:  max (x² – x + 1,4x – x²) = 3.

Решение:

Равенство  max (x² – x + 1,4x – x²) = 3 означает, что одно из чисел x² – x + 1 и 4x – x² равно трём, а другое не превосходит трёх. Если x² – x + 1 = 3, то x = 2 или x =  – 1. Если 4x – x² = 3, то x = 3 или x = 1. В каждом случае осталось проверить, что другое число меньше трёх. Это верно только при x = 1 и x =  – 1. Значит исходное уравнение имеет два корня x =  ± 1.

Задача 4: H – середина стороны CD параллелограмма ABCD. Отрезок BH пересекает диагональ AC в точке K, а отрезок AH пересекает диагональ BD в точке M. Докажите, что точки K и M делят отрезок прямой KM, заключенный между сторонами BC и AD, на три равные части.

Решение:

Пары треугольников ABM, HDM и ABK, CHK подобны с коэффициентом ½. Значит и прямые KM и CD параллельны. Пусть X и Y – точки пересечения KM со сторонами BC и AD соответственно. Рассматривая пары подобных треугольников ABC и KXC, ABD и YMD, находим, что KX = ⅓AB, MY = ⅓AB, что и даёт нам требуемое.

Задача 5: Найдите все трехзначные числа n, для которых n² + 8n – 85 делится на 101.

Решение: Если , то , то есть , и, значит, , откуда n = 101k – 4, k – целое. Так как n – трехзначное число, то k может принимать целые значения от 2 до 9.