Задача 1: Операция *, примененная к паре положительных чисел a и b, дает число a*b. Известно, что a*1 = a,a*a = 1 для любого a, а также (a*b) • (c*d) = (ac) • (bd) для любых a,b,c,d. Чему равно число 27*243?

Решение: (1*a) • (a*1) = (1 • a)*(a • 1) = a*a = 1, то есть . Поэтому . Замечание. Да и вообще .

Задача 2:

Задача 3: Вычислите: .

Решение: Заметим, что 1 – tg³x ≥ tg³(x –  π /4) при x ∈ (0; π /4) и наоборот при x ∈ ( π /4; π /2). Значит, наш интеграл равен:

Задача 4: На числовой оси задана трижды дифференцируемая функция f, для которой f(x) • f′(x) • f′′(x) = 0 в любой точке x. Докажите, что f – линейная функция.

Решение: Рассмотрим точку x, в которой f(x) не равно 0. Из непрерывности f следует, что существует окрестность точки x, в которой f(x) не равно 0. Тогда в этой окрестности f′ • f″ = 0, (f′²)′ = 0, , , f = ax + b – линейная функция. Таким образом, f линейна в окрестности любой точки, в которой она не равна 0. Значит, f кусочно линейна. Но, так как f дифференцируема, то она линейна на всей числовой оси.

Задача 5: Четыре сферы, центры которых не лежат в одной плоскости, попарно пересекаются по окружностям. Докажите, что все шесть плоскостей, в которых лежат окружности пересечений, пересекаются в одной точке (центры никаких трех сфер не лежат на одной прямой).

Решение: Рассмотрим сферы с центрами A и B, радиусами R_A,R_B и плоскость l_AB, содержащую их пересечение. Для любой точки X из этой плоскости . Действительно, если обозначить через Y точку пересечения AB c l_AB, то , где P – точка пересечения сфер, лежащая в рассматриваемой плоскости. Аналогично получаем, что . Верно и обратное: если , то X лежит в плоскости l_AB. Рассмотрим теперь третью сферу (с центром C и радиусом R_c). Так как A, B, C не лежат на одной прямой, то плоскости l_AB и l_BC имеют общие точки, для которых выполнено равенство и, следовательно, X лежит в плоскости l_AC. Так как все три плоскости l_AB, l_AC, l_BC перпендикулярны плоскости ABC и пересекаются, то множество их пересечения – прямая l, перпендикулярная плоскости ABC. Рассмотрим теперь плоскость l_AD, так как центры сфер не лежат в одной плоскости, то l_AD и l не параллельны и, следовательно, имеют ровно одну общую точку O, для которой выполнено