Задача 1: Существуют ли целые числа a,b,c, для которых (3a – b)(3b – c)(3c – a) = 5005?

Решение: Сумма чисел 3a – b; 3b – c; 3c – a чётна, значит хотя бы одно из них четно. Тогда их произведение тоже чётно и не может равняться 5005.

Задача 2: Две окружности касаются внешним образом в точке A. К окружностям проведены параллельные касательные: к первой в точке B, ко второй в точке C, причем точка A не лежит между касательными. Докажите, что угол BAC прямой.

Решение: Пусть O₁ и O₂ центры окружностей; проведем общую касательную в точке A. Она разобьет угол BAC на части, равные половинам дуг, отсекаемых хордами AB и AC. Значит,  ∠ BAC = ½( ∠ BO₁A +  ∠ CO₂A) = 90   (поскольку углы BO₁A и CO₂A – внутренние односторонние при параллельных прямых BO₁ и CO₁).

Задача 3: Могут ли шесть попарных разностей для четырех чисел совпадать с числами 2, 2, 3, 4, 5, 6?

Решение: Если все числа одной чётности, то нечётных разностей быть не может. Если ровно три числа одной чётности, то нечётных разностей должно быть три. Если чётных и нечётных чисел по два, то должно быть четыре нечётных разности. Значит чисел с попарными разностями 2, 2, 3, 4, 5, 6 не существует.

Задача 4:

Задача 5: Пусть M и K – точки на сторонах AC и BC треугольника ABC, O – точка пересечения отрезков AK и BM. Найдите площадь треугольника ABC, если треугольники AMO и BKO имеют площадь 8, а треугольник KMO имеет площадь 4.

Решение: , значит S_BOA = S_BOK • 2 = 16; , то есть , откуда S_MKC = 12. Теперь находим, что S_ABC = 48.