Задача 1: Решите уравнение: 5(x² + y² + 1) = 6x + 8y.

Решение: Перенесем все в левую часть и запишем в виде

откуда ; .

Задача 2: Докажите, что длина медианы, выходящей из тупого угла треугольника, меньше четверти периметра этого треугольника.

Решение: Пусть a, b, c – стороны треугольника;  γ  – тупой угол (противолежит стороне c); m – медиана. Продолжив медиану на её длину, получим параллелограмм со сторонами a, b и диагоналями c, 2m. Воспользуемся теоремой косинусов и тем, что угол  γ  тупой.

Значит, 2m < c. По неравенству треугольника c < a + b, 2c < a + b + c = P, откуда заключаем, что .

Задача 3: Могут ли при некотором вещественном a одновременно быть целыми числа и ?

Решение: Да, например, при .

Задача 4: