Задача 1:

Задача 2: M и N – середины сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Доказать, что если DM и AC перпендикулярны, то BN:CD = 3:2.

Решение: O – точка пересечения диагоналей ABCD. CO, DM, BN пересекаются в одной точке (обозначим её K), как медианы треугольника BDC. Значит, KN = ⅓BN. Поскольку гипотенуза прямоугольного треугольника равна удвоенной медиане, исходящей из прямого угла, то CD = 2KN. Тогда BN:CD = 3:2.

Задача 3: Набор из 100 натуральных чисел обладает тем свойством, что каждое из этих чисел является делителем суммы остальных 99 чисел этого набора. Могут ли все эти числа быть попарно различными?

Решение: Рассмотрим числа: 1, 2, …, 2⁴⁹; 2⁵⁰ – 1, 2 • (2⁵⁰ – 1), …, 2⁴⁹ • (2⁵⁰ – 1), их ровно сто. Сумма этих чисел S = 2⁵⁰ – 1 + (2⁵⁰ – 1)(2⁵⁰ – 1) = 2⁵⁰(2⁵⁰ – 1). S делится на каждое из наших чисел, значит, сумма любых 99-ти чисел набора делится на оставшееся, то есть предъявленный набор удовлетворяет условию задачи.

Задача 4: Точки O и Q лежат на сторонах MN и MR треугольника MNR. Отрезки NQ и OR пересекаются в точке P. Докажите, что площадь треугольника OPQ меньше среднего геометрического площадей треугольников NOP и PQR.

Решение: Условие равносильно неравенству , которое можно переписать в виде . А последнее неравенство равносильно очевидному неравенству .

Задача 5: Про вещественные числа x и y известно, что x² – 4xy + 3y² = 7. Какое наименьшее значение может принимать выражение 3x² + 2y² – 12(x + y)?

Решение: 3x² + 2y² – 12(x + y) = 3(x – 2)² + 2(y – 3)² – 30 ≥  – 30. Равенство достигается при x = 2, y = 3 (проверим, что для них выполнено условие: 2² – 4 • 2 • 3 + 3 • 3² = 7 – верно).