Задача 1:

Задача 2:

Задача 3: В квадрате ABCD точки K, L, M, N лежат на его сторонах AB, BC, CD, DA соответственно. При этом KM || AD, а углы NKL и LMN прямые. Докажите, что середина отрезка LN совпадает с центром квадрата ABCD.

Решение: KLMN – вписанный четырёхугольник с диаметром LN, значит, середина LN лежит на серединном перпендикуляре к KM и, следовательно, на серединном перпендикуляре к AD. С другой стороны, середина LN является серединой боковой стороны трапеции ABLN и, значит, лежит на средней линии ABLN и, следовательно, на серединном перпендикуляре к AB. То есть мы получим, что середина LN является точкой пересечения серединных перпендикуляров к AB и AD и, следовательно, центром квадрата.

Задача 4: Сосчитайте значение интеграла: .

Решение: Заметим, что , и . Последний интеграл равен площади заштрихованной фигуры, то есть . Таким образом искомый интеграл равен .

Задача 5: Правильная четырехугольная пирамида с двугранным углом при основании пирамиды, равным 30 вписана в сферу радиуса 1. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: Пусть O – центр сферы, O′ – его проекция на основание пирамиды, a – сторона основания. Тогда из  ∆ O′BM находим, что высота пирамиды равна ; . Подставив R = 1, , , получим уравнение относительно a, из которого находим и, следовательно, площадь основания .

ПЕРЕСЧИТАТЬ!!!