Задача 1:

Задача 2:

Задача 3:

Задача 4: С натуральным числом разрешается проводить следующие две операции: удвоение и стирание последней цифры. Докажите, что с помощью таких операций можно из любого натурального числа получить любое другое натуральное число.

Решение: Из любого числа можно получить однозначное, из которого легко получить единицу. Теперь достаточно показать, что для любого N существует степень двойки, начало которой совпадает с числом N, то есть существуют такие m и k, что N • 10^m ≤ 2^k < (N + 1) • 10^m. Прологарифмируем:

Пусть  α  <  α ₁ – дробные части и соответственно. Так как иррационален, то найдется сколь угодно большое k такое, что дробная часть попадет в интервал ( α , α ₁). Возьмем k таким большим, чтобы и подберем m так, чтобы было выполнено наше неравенство. В случае  α  >  α ₁ поступим также, только вместо ( α , α ₁) будем рассматривать интервал ( α , α ₁ + 1). Осталось заметить, что  α  и  α ₁ всегда различны, таким образом все случаи рассмотрены.

Задача 5: Тетраэдр ABCD и точка M в пространстве таковы, что результатом последовательного отражения точки M относительно всех граней тетраэдра и вершины A будет вновь точка M. Докажите, что в тетраэдре имеется вершина такая, что все двугранные углы между сходящимися в ней гранями прямые.

Решение: Аналогично задаче 24.