Задача 1: 5 рублей монетами по 15 и 20 копеек положили на весы. Оказалось, что их общий вес равен 80 г. Сколько всего монет на весах? (Монета достоинством 15 коп весит 2,5 г, монета достоинством 20 коп весит 3 г).

Решение: Обозначив через a и b количества пятнадцатикопеечных и двадцатикопеечных монет соответственно, получаем, что 15a + 20b = 500, и 2,5a + 3b = 80. Отсюда a = 20, b = 10, a + b = 30.

Задача 2: Обозначим через A сумму трех последовательных натуральных чисел, а через B сумму следующих трех натуральных чисел. Может ли произведение AB равняться 111111111?

Решение: Не может, так как числа A и B разной четности.

Задача 3: За один ход разрешается либо заменить написанное на доске число на удвоенное, либо стереть у него последнюю цифру. Вначале на доске написано число 458. Как за несколько ходов получить число 14?

Решение: 458 → 45 → 90 → 180 → 360 → 720 → 72 → 7 → 14.

Задача 4: Натуральные числа от 1 до AB выписали в порядке возрастания в клетки таблицы, содержащей A строчек и B столбцов, по строчкам, начиная с верхней. Известно, что число 26 находится в третьей строке, 49 – в шестой, 96 – в последней. Найдите A и B.

Решение: В n-й строке стоят числа от (n – 1)B + 1 до nB. Значит, 2B + 1 ≤ 26 ≤ 3B, 5B + 1 ≤ 49 ≤ 6B и B + 1 ≤ 96 ≤ AB. Из второго неравенства получаем, что B = 9 (первое при этом выполнено), а из третьего, что A = 11.