Задача 1:

Задача 2: Коля и Вася получили за сентябрь по 64 оценки, причем Коля получил пятерок столько же, сколько Вася – четверок, четверок столько же, сколько Вася – троек, троек столько же, сколько Вася – двоек и двоек столько же, сколько Вася – пятерок. Кроме того оказалось, что их средние баллы совпадают. Сколько у Коли двоек?

Решение: Обозначим через a, b, c, d количество «пятерок», «четверок», «троек», «двоек», полученных Колей, соответственно. Тогда Вася получил аналогичных отметок d, a, b, c штук соответственно. a + b + c + d = 64, а из равенства средних баллов заключаем, что 5a + 4b + 3c + 2d = 5d + 4a + 3b + 2c. Отсюда 3d = a + b + c, 4d = 64, то есть у Коли 16 двоек.

Задача 3: Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD, делится точкой пересечения с диагональю AC пополам. Докажите, что площади треугольников ABC и ACD равны.

Решение: Пусть K – середина AB, L – середина CD, O – точка пересечения CA и KL. S_ABC = 2S_AKC = 2(S_AKO + S_KCO) = 2(S_AOL + S_COL) = 2S_ACL = S_ACD.

Задача 4: Пусть A и B – положительные числа. Докажите, что

Решение: Домножив доказываемое неравенство на (A² + B²)(A³ + B³), получим верное неравенство A⁴ + B⁴ + AB(A² + B²) ≥ A⁴ + B⁴ + 2A²B², равносильное исходному.