Задача 1:

Задача 2:

Задача 3: Существуют ли 19 последовательных чисел, сумма которых делится на 87?

Решение: Сумма чисел делится на 87.

Задача 4: На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли точки D и E соответственно, причем BD:DA = BE:EC = 1:2. Отрезки AE и CD пересекаются в точке O. Докажите, что если OD = OE, то треугольник ABC – равнобедренный.

Решение: BD:BA = BE:BC = 1:3, следовательно, DE || AC. Отсюда заключаем, что  ∠ DEO =  ∠ EAC и, значит, подобны треугольники DOE и COA и, так как DO = OE, то AO = OC. Отсюда получаем равенство треугольников DAC и ECA и, следовательно, углов A и C треугольника ABC. Значит, AB = BC.

Задача 5: Найдите все натуральные N такие, что N³ – 7 делится на N – 2.

Решение: Заметим, что (n³ – 8) делится на (n – 2). Тогда из того, что (n³ – 7) делится на (n – 2), следует, что 1 делится на (n – 2). Значит, n = 3 или n = 1.