Задача 1: Числа a₁,a₂, … ,a_n образуют арифметическую прогрессию, также как и числа  sin a₁,  sin a₂,  … ,  sin a_n, причем  sin a₁ = ½, sin a_n =  – ½. Чему равно число  sin a₂?

Решение: Если среди чисел  sin a₂, … , sin a_n – 1 есть хотя бы одно, не равное 0 (пусть это  sin a_k), то  sin a_k – 1 +  sin a_k + 1 = 2 sin a_k. Воспользуемся формулой для суммы синусов: . Отсюда , и тогда . Значит a_k – 1 – a_k + 1 = 4 π m, то есть разность прогрессии a₁,a₂, …  равна 2 π m. Но это означает, что  sin a₁ =  sin a_n – противоречит условию. Таким образом, все члены прогрессии между  sin a₁ и  sin a_n равны нулю, в частности,  sin a₂ = 0.

Задача 2: На необитаемом острове пираты закопали клад, причем они запомнили, что если от Южного Мыса пройти 70 метров налево по прямой вдоль берега, а затем пройти 110 метров по направлению ко вкопанному столбу, то окажешься на месте, где зарыт клад. Точно так же можно попасть на это место, если от Южного Мыса пройти 130 метров к столбу, а затем повернуть направо и пройти 10 метров. Когда пираты вновь приехали на остров, то обнаружили, что столб вырвало бурей. Как им теперь найти клад?

Решение: Расстояние от Южного мыса до клада по прямой равно . Заметим, что сумма квадратов 110² + 70² также равна . Значит, если пройти от Южного мыса 70 метров налево, а потом повернуть под прямым углом направо и пройти 110 метров, то попадешь туда, куда нужно.

Задача 3: Решить в вещественных числах систему уравнений:

Решение: Обозначив разность и произведение чисел x и y через r и p соответственно, получим . Подставив r во второе уравнение, находим, что r равно 6 или 5, откуда p равно  – 5 или  – 6 соответственно. Возвращаясь к старым переменным, получаем решения системы: (1; – 5), (5; – 1), (2; – 3), (3; – 2).

Задача 4: Найдите все такие натуральные x, что x³ + 7 делится на x – 2.

Решение: Аналогично задаче 17, заметим что n – 2 является делителем 15. Ответ: x ∈ 1,3,5,7,15.

Задача 5: Микрокалькулятор «Чебурашка» умеет складывать, вычитать и находить по данному числу x обратное к нему число 1/x. Можно ли с помощью этого микрокалькулятора получить число 1, имея число (имеется в виду, что вводить в микрокалькулятор числа, отличные от данных или полученных в результате вычислений, запрещается).

Решение: Получим из числа число . Прибавив это число к исходному 7725 раз, получим 176. Затем получаем и, сложив его с собой 176 раз, получим единицу.