Задача 1: Найдите все натуральные числа x такие, что x³ + 3 делится на x² – x + 1.

Решение: ; , значит, и x² – x + 1 может принимать лишь значения  ± 1;  ± 2, откуда x = 0 или x = 1.

Задача 2: Треугольник ABC и точка M на плоскости таковы, что результатом последовательного отражения точки M относительно всех сторон треугольника и вершины A будет снова точка M. Докажите, что треугольник ABC – прямоугольный.

Решение: Пусть M₁, M₂, M₃ – образы точки M при последовательных отражениях. Три из четырёх проделанных преобразований (симметрии относительно прямой AB, прямой AC и точки A) не меняют расстояния до точки A. Поскольку точка M осталась на месте, то и симметрия относительно BC не изменила расстояния до точки A. Значит одна из точек M_i лежит на прямой BC. Последовательные отражения относительно AC и AB есть поворот на 2 ∠ BAC, а отражение относительно точки A – поворот на 180  . Значит, композиция всех этих преобразований является поворотом точки M на 2 ∠ BAC + 180  . Так как M осталось неподвижна, то 2 α  + 180   делится на 2 π . Значит,  ∠ BAC = 90  .

Задача 3: Действительные числа A, B, C таковы, что . Доказать, что абсолютная величина хотя бы одного из чисел A, B, C не превосходит .

Решение: Заметим, что из чисел A, B, C, ровно два числа одного знака. Пусть A,B > 0, C < 0. Обозначим  – C = D > 0 и перепишем условие в виде . Предположим, что и заметим, что тогда (следует из того, что . Тогда

что противоречит условию. Значит, предположение неверно, и среди чисел A, B, C найдется хотя бы одно с модулем, меньшим .

Задача 4: Ломаная линия на поверхности тетраэдра содержит все его вершины и середины ребер. Какое наименьшее число звеньев может содержать эта ломаная?

Решение: Пример ломанной, содержащей 6 звеньев изображен на рисунке. Предположим, нашлась аналогичная ломанная из пяти звеньев. Тогда рассмотрим её ребро, содержащее две из шести середин ребер (следовательно, на нем нет больше отмеченных точек). Ребро, соседнее с этим, содержит ещё только одну отмеченную точку, а остальные ещё не более чем по две точки. Всего точек не более, чем 2 + 1 + 2 + 2 + 2 = 9 < 10. Значит, пяти звенной ломанной быть не может.

Задача 5: Можно ли с помощью микрокалькулятора "Чебурашка", который умеет складывать, вычитать и находить по данному числу x обратное к нему число 1/x получить единицу имея исходно число:

Решение: a) Из числа x можно получить все нечетные степени x, пользуясь тождеством. при x = y. Таким образом из можно получить 88, затем , из которой легко получается единица.

b) Нельзя, так как калькулятор из числа (a,b – рациональны) получает число такого же вида.