Задача 1: Трапеция ABCD такова, что круги, построенные на ее боковых сторонах как на диаметрах, касаются друг друга. Докажите, что в ABCD можно вписать окружность.

Решение: Средняя линия трапеции равна по длине сумме радиусов окружностей. Значит, сумма оснований равна сумме диаметров и, следовательно, равна сумме боковых сторон. Это и означает, что в трапецию можно вписать окружность.

Задача 2: Дана функция

Найдите сумму f(0) + f(1) +  …  + f(20).

Решение: Заметим, что . Пусть 2^10 – x =  tg  α . Тогда 2 ^{– 10 + x} =  ctg  α  =  tg ( π /2 –  α ) и, следовательно, . Значит, .

Задача 3: Действительные числа x, y, z таковы, что x² + y² + z² = 3(x + y + z). Каково минимальное значение, которое может при этом принимать выражение xy + yz + xz?

Решение: Пусть x² + y² + z² = 3(x + y + z) = 3S. Тогда . Значит, минимальное значение 1,125 (достигается при S = 1,5). Чтобы найти x,y,z заметим, что x² + y² + z² = 4,5 – сфера, которая, очевидно, пересекается с плоскостью x + y + z = 1,5. Например, в качестве (x,y,z) можно взять точку

Задача 4: Длины сторон треугольника, лежащего в основании пирамиды, равны 10, 10 и 12, а боковые грани образуют с основанием двугранные углы, равные 30  . Найдите высоту пирамиды.

Решение: Пусть O – основание высоты. Из равенства всех двугранных углов при основании следует, что O равноудалена от сторон основания и, значит, является центром вписанной в основание окружности. Вычислим площадь основания по формуле Герона, а затем выразим радиус вписанной окружности из формулы : . Получаем, что . Тогда высота пирамиды равна .

Задача 5: