Задача 1: Докажите, что любое натуральное число, большее 11, можно представить как сумму двух составных чисел.

Решение: 2k = 4 + (2k – 4); 2k + 1 = 9 + (2k – 8).

Задача 2: В треугольнике ABC проведена медиана AM. Известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABM и ACM, равны. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Решение: Треугольники ABM и CAM равновелики. Равенство их периметров следует из формулы для площади треугольника S = ½P • r, где r - радиус вписанной окружности. Поскольку CM = MB, AM – общая сторона этих треугольников, то AB = AC, что и требовалось.

Задача 3:

Задача 4: В выпуклом четырехугольнике ABCD точка M – середина стороны CD, точка N – середина стороны DA. Чему равна сумма площадей треугольников ABM, BCN и ACD, если площадь четырехугольника ABCD равна 1?

Решение: S_ABM = 1 – S_AMD – S_BMC = 1 – ½S_ACD – ½S_BCD; S_BNC = 1 – S_ABN – S_NCD = 1 – ½S_ABD – ½S_ACD. Сложив эти равенства и прибавив S_ACD, получим: S_ABM + S_BNC + S_ACD = 2 – S_ACD – ½(S_BCD + S_ABD) + S_ACD = 1½.

Задача 5: На доске написаны цифры 1, 2, 3, 4. Разрешается, взяв несколько цифр, составить из них число A. Затем число A умножается на 7 и цифры полученного числа записываются обратно на доску вместо взятых нами цифр. Можно ли с помощью таких операций добиться того, чтобы на доске были написаны цифры 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6?

Решение: Нельзя, так как эта операция не изменяет остаток, который дает сумма всех цифр при делении на 3.