Задача 1: ABCD – произвольный четырехугольник. Пусть K,L,M,N – середины сторон AB,BC,CD,DA соответственно. Докажите, что сумма векторов , , , равна нуль-вектору.

Решение: ; ; ; . Сложив эти равенства, получим .

Задача 2: Вещественные числа a, b и c таковы, что abc = a + b + c. Докажите, что .

Решение: Из условия выражаем: . Тогда и, подставляя это выражение в доказываемое тождество, получим требуемое.

Задача 3:

Задача 4: Данные точки A и B лежат по одну сторону от данной прямой L. Постройте на прямой L точку X такую, что прямая XA является биссектрисой угла, образованного прямыми L и XB.

Решение: При симметрии относительно биссектрисы образ точки B должен попасть на прямую l. Поэтому построение таково: построим точку B′ ∈ l такую, что AB′ = AB. Проведем биссекрису угла BAB′, X – точка её пересечения с l – искомая точка. Задача имеет решение, если AB больше расстояния от A до l или, если AB равно этому расстоянию и, при этом, AB и l не перпендикулярны.

Задача 5: Найдите все пары простых чисел p и q, удовлетворяющих уравнению p² + q = 37q² + p.

Решение: Запишем уравнение в виде p(p – 1) = q(37q – 1). Т.к. p ≠ q, то p – 1 делится на q и, значит, p = kq + 1. Тогда kq(kq + 1) = q(37q – 1). Выразим q:  – натуральное лишь при k = 6. Значит, q = 7,p = 43.