Задача 1: В акционерном обществе «Елки-палки» 1994 акционера, причем известно, что любые 1000 из них в совокупности обладают контрольным пакетом (т.е., не менее чем половиной акций). Какую наибольшую долю акций может иметь один акционер?

(С.Л.Берлов и др.)

Задача 2: Назовем треугольник «невысоким», если по крайней мере две его высоты имеют длину, не большую 1. На плоскости даны четыре точки такие, что все образуемые ими треугольники – невысокие. Докажите, что существует прямая, от которой все эти точки удалены на расстояние, не превосходящее 1/2.

(С.Л.Берлов)

Задача 3: Натуральные числа a₁, b₁, c₁, a₂, b₂ и c₂ таковы, что

Докажите, что произведения a₁b₁c₁ и a₂b₂c₂ не равны.

(А.Е.Перлин)

Задача 4: На полке стоят 1994 тома энциклопедии. Каждое утро библиотекарь Федя берет три тома и как-то расставляет их на тех же местах, а каждый вечер уборщица Дуся меняет какие-то два тома местами. Докажите, что Дуся может действовать так, что в любой момент времени на своих местах будет стоять менее пяти томов (исходно тома расставляет уборщица).

(Ф.Л.Назаров)

Задача 5: На сторонах AB, BC и CA произвольного треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ соответственно. Обозначим через S₁, S₂ и S₃ площади треугольников AB₁C₁, BA₁C₁ и CA₁B₁ соответственно. Докажите, что

(С.Л.Берлов)

Задача 6: Квадрат разбит на несколько прямоугольников так, что любая горизонтальная прямая пересекает ровно n прямоугольников, а любая вертикальная прямая – ровно m прямоугольников (рассматриваются только прямые, не содержащие сторон прямоугольников). Каково минимально возможное число прямоугольников разбиения?

(Д.В.Карпов)

Задача 7: Двое играют в игру. Первый игрок загадал число, а второй игрок за ход может назвать любые пять различных натуральных чисел, не больших 9, после чего первый сообщает сумму задуманного числа и одной из названных цифр. За какое минимальное число ходов второй может отгадать задуманное число?

(С.Л.Берлов)