Задача 1: При дворе принца Лимона служили герцоги, графы и бароны. В начале правления принца придворных было 1994, но каждый день один из них убивал другого на дуэли, причем герцоги убивали только графов, графы – только баронов, а бароны – только герцогов. При этом никто не выиграл дуэль дважды. В конце концов остался в живых лишь барон Апельсин. Какой титул был у первого погибшего придворного?

(А.Е.Перлин)

Задача 2: Три двузначных числа таковы, что сумма любых двух из них равна числу, отличающемуся от третьего лишь порядком цифр. Какой может быть сумма этих трех чисел?

(Д.В.Фомин)

Задача 3: В клетках квадратной таблицы 10 × 10 расставлены 0 и 1, причем известно, что из любых четырех строчек таблицы какие-то две совпадают. Докажите, что в таблице есть два одинаковых столбца.

(С.Л.Берлов)

Задача 4: Есть сто монет достоинством 1, 2, 3, …, 100 пиастров. Среди них не более 20 фальшивых, то есть таких, что их вес в граммах не равен их достоинству. Как при помощи чашечных весов без гирь определить, фальшива ли монета достоинством в 10 пиастров?

(Д.В.Фомин, М.Н.Гусаров)

Задача 5: Могут ли расстояния от некоторой точки на плоскости до вершин некоторого квадрата быть равными 1, 4, 7 и 8?

(Д.В.Фомин)

Задача 6: В марсианском алфавите k букв, и два слова называются похожими, если в них одинаковое количество букв и они отличаются лишь в одном месте (например, ТРИКС и ТРУКС). Докажите, что все слова в языке можно разбить на k групп, в каждой из которых все слова не похожи друг на друга.

(В.Ю.Жуховицкий)

Задача 7: Бумажный квадрат разбит линиями, проведенными карандашом, на n прямоугольников. Докажите, что можно сделать не более n – 1 прямолинейного разреза, после которых бумажный квадрат распадется в точности на нарисованные прямоугольники. Части нельзя накладывать друг на друга, а разрез не обязан начинаться или кончаться на краю.

(С.В.Иванов)