Задача 1: На острове, население которого составляют только рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут, находится НИИ. Каждый из его сотрудников однажды сделал два заявления:

а) В институте нет и десяти человек, которые работают больше меня.

б) По крайней мере сто человек в институте получают зарплату большую, чем моя.

Известно, что нагрузка у всех работников разная, как и зарплата. Сколько человек работает в НИИ?

(Ф.Л.Назаров)

Задача 2: Натуральные числа p и q таковы, что p ≥ q. У ослика Иа-Иа есть pq палочек, из которых он может составить p q-угольников. Докажите, что из этих же палочек Иа-Иа может составить q p-угольников.

(Ф.Л.Назаров)

Задача 3: AL – биссектриса треугольника ABC, K – точка на стороне AC такая, что CK = CL. Прямая LK и биссектриса угла B пересекаются в точке P. Докажите, что AP = PL.

(С.Л.Берлов)

Задача 4: Про натуральные числа a, b, c и d известно, что . Докажите, что d ≤ b + (c – 1)².

(С.Л.Берлов)

Задача 5: Двое играют в игру. Первый игрок загадал число, а второй игрок за ход может назвать любые k различных натуральных чисел, не больших 100, после чего первый сообщает сумму задуманного числа и одного из названных чисел. При каком максимальном k второй сможет рано или поздно отгадать задуманное число?

(С.Л.Берлов, Ф.Л.Назаров)

Задача 6: Квадрат разбит на несколько прямоугольников так, что любая горизонтальная прямая пересекает ровно n прямоугольников, а любая вертикальная прямая – ровно m прямоугольников (рассматриваются только прямые, не содержащие сторон прямоугольников). Каково минимально возможное число прямоугольников разбиения?

(Д.В.Карпов)

Задача 7: На сторонах AB, BC, CD и DA произвольного четырехугольника ABCD взяты точки K, L, M и N соответственно. Обозначим через S₁, S₂, S₃ и S₄ площади треугольников AKN, BKL, CLM и DMN соответственно. Докажите, что

(С.Л.Берлов)