Задача 1: В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD и AE, пересекающиеся в точке P. Докажите, что AB² = AP • AE + BP • BD.

(Д.В.Фомин)

Задача 2: Натуральные числа x и y, большие 1, таковы, что x² + y² – 1 делится на x + y – 1. Докажите, что x + y – 1 – составное число.

(А.С.Голованов)

Задача 3: Докажите, что для любых вещественных положительных a и b выполнено неравенство a^a + b^b > ab.

(Ф.Л.Назаров)

Задача 4: По окружности расставлено 1994 точки, покрашенные в 10 цветов. Известно, что среди любых 100 подряд идущих точек встречаются точки всех цветов. Докажите, что среди каких-то 90 подряд идущих точек тоже встретятся точки всех цветов.

(С.Л.Берлов)

Задача 5: Вещественные числа a, b и c таковы, что числа

– целые. Докажите, что эти целые числа попарно взаимно просты.

(А.Е.Перлин)

Задача 6: Докажите, что площадь четырехугольника со сторонами a, b, c, d не превосходит .

(С.Л.Берлов)

Задача 7: Пусть a_n – (n + 1)-я с конца цифра десятичной записи числа . Докажите, что последовательность (a_n) непериодична.

(С.В.Иванов)

Задача 8: Чук и Гек играют в следующую игру: Гек рисует на плоскости систему точек, некоторые из которых он соединяет непересекающимися отрезками так, что отрезки не образуют замкнутых ломаных. Затем каждым своим ходом игрок может покрасить любую неокрашенную еще точку в один из 4 данных цветов так, чтобы никакие две «соседние» точки не были окрашены в один цвет. Первым ходит Чук, и он выигрывает, если в конце игры все точки окажутся окрашенными. В противном случае (если ходов больше нет, но не все точки окрашены) выигрывает Гек. Кто выигрывает при правильной игре?

(К.П.Кохась)